Distribución Normal, campana de Gauss y algunas condusiones (y iii)

Con esta daremos por terminada la serie de entradas dedicadas a la distribución Normal y el porqué de su importancia y popularidad. Esta última parte de está dedicada a demostrar formalmente (aunque espero no sea por ello tedioso) lo que vimos en la anterior entrada, es decir, que adición de v.a.i.id sigue una distribución normal cuando tomamos muestras de n elementos siendo n suficientemente grande (n>30 comunmente). Decíamos por ello que mcuhas magnitudes observadas en la naturaleza , fruto de la adición de numerosos factores donde interviene el azar, nos permite explicar porqué se observan distribuciones aproximadamente normales muy frecuentemente.


A pesar de la gran importancia del Teorema Central del Límite , su demostración, aunque obviamente no es un juego de niños, tampoco resulta muy complicada. Para su demostración no obstante necesitamos de una herramienta básica. La función característica.

Se define la función característica de una distribución de probabilidad como :

, donde E representa la esperanza matemática e i la unidad imaginaria. La función característica de la distribución normal vendrá de integrar su densidad multiplicada por
. Esto resulta (no voy a desarrollar el cálculo) en , que será la función característica de la distribución Normal. Pero ahora muchos se preguntarán..¿pero qué es esto? ¿por qué este churro? Voy a resumir mucho y os diré que la función característica es muy importante entre otras cosas por (1), siempre existe para cualquier v.a. X y (2) ser la base de un teorema fundamental en todo esto: El teorema de continuidad de Lévy, que a groso modo nos dice que dada una sucesión de variables aleatorias X_n con funciones características φ_n(t), Si dichas funciones convergen a una función φ(t) , entonces X_n convergen a una variable aleatoria X , con función característica φ(t). Este resultado es muy importante y es utilizado tanto para el TCL como para otros lema importantes en estadística, como la ley débil de los grandes números. El reconocimiento de una función característica en una demostración será la clave en todo esto.

Bien, vamos al grano, a la demostración del TCL. En primer lugar , partimos de una v.a. X con media μ=0 y desviación típica σ=0. Su función característica será con y siendo o una función que hace tender t a 0. ¿Por qué? Esto viene del desarrollo de la función característica por Taylor, que en concreto parte de expresar la expresión en función de senos y cosenos y desarrollar por Taylor. No nos detendremos en esto, el objetivo era no liarlo demasiado.

Ahora ya tenemos nuestra v.a. con media 0 y varianza 1 y su función característica. Ahora supongamos X₁..X_n v.a. de media μ y desviación típica σ consideraremos S_i como (x_i-μ/σ)

, es decir estandarizamos las v.a. Sea entonces S_n la media de estas observaciones estandarizadas, es decir,

, ya que la media del estimador promedio es μ=0 y su desviación típica es , donde σ es 1.


Vamos ahora a calcular la función característica de S_n, recordando algo importante, y es que la función característica de la suma de dos variables es el producto de sus funciones características. Así tendremos el producto de funciones características , que por el desarrollo de Taylor que vimo antes es:




que tiende a cuando n tiende a infinito. ¿Por qué? Porque
es efectivamente el número e.


y TACHANNNN! Resulta que ésta es la función característica de una distribución N(o,1)!!! ¿Os acordáis de ese tal Lévy y su teorema de continuidad?? Efectivamente, si las funciones características son iguales, las distribuciones son iguales, y así q.e.d.

Salimos hasta la próxima entrada.